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凯利公式与德州扑克比赛（上）

上个世纪前叶，美国出现了很多数学天才，包括香农，索普，纳什等。他们的很多成就，其实都来自于博彩。他们的研究领域包括二十一点，轮盘赌等。甚至计算机的发明，都与博彩业有关。而这些人中，本来是物理学家的凯利，41岁就英年早逝，却是对博彩业影响最大的科学家。

凯利公式的发明，是二十世纪对博彩业和投资金融业影响最大的数学事件之一。而凯利公式的灵感来自于上世纪初遍布美国的外桩赌马。

凯利公式的策略，是针对当时赌马的内部消息。如何在不确定的内部消息中下注获得最大收益而不破产，是凯利公式解决的问题。

除可将长期增长率最大化外，此方程式不允许在任何赌局中，有失去全部现有资金的可能，因此有不存在破产疑虑的优点。方程式假设货币与赌局可无穷分割，而只要资金足够多，在实际应用上不成问题。

而写了一本旷世奇书《决胜二十一点》的数学家索普，就是凯利公式的一个实践者，他利用凯利公式策略，出入美国各大赌场，让赌场输得莫名其妙。最后被赌场宣布为不受欢迎的人。

记得以前我说过，凯利公式可以用于德州扑克比赛。一些不懂装懂的人说我是胡说八道。其实他们根本没听懂我的意思。如果说我跟那些不懂装懂的人有什么本质区别，就一点，我的数学水平可以甩开他们的可怜数学水平好几条街！

凯利公式后来被应用最多的，是股票投资领域。用来资金管理。所以，有人误以为凯利公式是专门用来资金管理的。包括德州扑克比赛的资金管理。其实，凯利公式最初的发明，是用于赌马。正如前面提到的，凯利公式是说，如果我们有获胜的可能（内幕消息是其中最直接的），我们应该如何下注，才能保证不破产而获得最理想的收益？

凯利的结论是，最佳投注比例为：

期望值/赔率。

公式很简单，F=(bp-q)/b

F=下注资金比例

p=胜率

q=输率即（1-p）

b=赔率

所以，凯利公式是一个无风险投注指数。

举个例子说吧，如果你持有AKo，你看到对手持有JQo，底池赔率为1.5。也就是说，在你有60%胜率的情况下，赔率为1赔1.5的情况下，你投入有效筹码的多少比例，收益是没有风险的（前提已经有了，就是你有60%的胜率，你的投入是正EV行为）？

根据凯利公式，你的投入比例为：

F=(1.5*60%-40%)/1.5=33.3%。也就是说，你投入筹码量的33.3%是无风险的。

其原理是，如果你的EV值为投入量的50%。你的赔率为150%（赔率1.5）的话，你如果分三次投入你的筹码，你就可以实现你的赔率了。这样，你避免了一次投入被40%输率输掉的风险。你通过三次投入，实现你的50%的EV值，跟你一次投入全部筹码相比，风险更小。而收益一样。

当然，凯利公式不是你获利最大的投注方式。因为如果你一次投入所有筹码，一但你获胜，你得到到不是50%的EV值，而是150%的回报。然而，你一单输了，就血本无归破产。

从以上例子我们看到，凯利公式是一个EV/赔率的公式。它说明了投入量的最佳比例。德州扑克比赛中，我们经常会遇到这样的难题，就是我们如何在风险和收益之间找到平衡。凯利公式可以帮助解决这个问题。

就上面的例子来说，如果我们有三倍于对手的筹码，我们的投入是没有风险的。因为我们可以用三次这样的投入，获得最大的EV回报。问题是，我们经常没有这样的筹码量，那么，凯利公式就没有用了么？

有用的！凯利公式其实给了我们一个无风险投注的比例指数。我们完全可以用凯利公式来判断我们的风险有多大。比如，在底池只有1.5bb的情况下，我们持有AKo，我们知道对手是JJ。我们持有30bb，对手全下，我们是否应该跟住？

凯利公式告诉我们，我们的无风险投入指数为：

赔率b=31.5/30=1.05

胜率p=50%(大致如此)

我们的无风险投入指数：

(1.05*50%-50%)/1.05=2.38%

也就是说，我们投入筹码的2.38%是无风险的。而我们现在要投入30bb，即100%筹码，去赢2.5%的EV值。这是巨大的风险。我们没有必要这样做。凯利公式可以作为德州扑克比赛筹码投入量的风险指数。这个毋庸置疑。

然而，认真的读者马上会提出一个问题。比赛哪里有无风险投注的机会？这样的机会这么少，凯利公式还有用么？当然有用。凯利公式其实可以作为一个风险指数，我们可以利用他来判断比赛中具有破坏性牌局的风险（比如全下弃牌阶段风险），同时，我们可以根据比赛的重要性，比赛的重要阶段，来制定一个我们能承受的风险指数，与凯利公式进行对照。就可以指导我们投注。

举例子说，红龙比赛进入第三天，我们持有40bb筹码，场上还有50人。平均筹码30bb。我们认为自己的水平在比赛中属于上游。没有必要跟对手拼命。但是，在什么样的情况下，我们要接一个30bb对手的全下呢？

另外举个例子对照。比如，同样是这个比赛。这时候我们在庄位偷一个盲注，基本上对手大小盲50%不防守的话，我们用任意牌下注2.5bb偷盲注，我们偷一次盲注地收益是0.75bb（假设有前注，底池2.5bb。粗略计算）。那么我们是冒着2.5bb风险偷取0.75bb收益。按比例，这相当于我们用30bb赢取9bb。偷盲的这个风险相比我们冒险用30bb赢取9bb的风险要小得多！这可能是锦标赛偷盲收益最典型的例子。当然，我们仅仅靠偷盲，可能无法满足我们筹码增长的需要。我们关键时刻需要冒险跟对手跑马，以获得筹码迅速增长。但是根据场上的形势，偷盲有如此收益，我们是否应该接一个30bb筹码的Allin的结论就有据可寻了。

假设，我们有40bb筹码，对手有30bb，我们持有AKo，我们在前位open2.5bb对手在庄位全下30bb，我们是否应该跟住？假设底池盲注加前注2.5bb，我们的赔率是：

(30bb+2.5bb+2.5bb)/27.5bb=1.27

假设我们估计对手范围为99+ AJs+ AQo+，我们AK胜率49.8%，

请问，我们是否应该跟住？

根据凯利公式，我们的无风险投入比例为：

(1.27*49.8%-50.2%)/1.27=0.13/1.27

=10.3%